Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνουμε το ηλιέλαιο σε μέτρια προς δυνατή φωτιά.

Σε ένα μεγάλο μπολ ανακατεύουμε το αλεύρι με το δεντρολίβανο.

Πασάρουμε καλά την αθερίνα στο αλεύρι και βάζουμε το ψάρι σε ένα σουρωτήρι για να φύγει το περιττό αλεύρι και να μην μαυρίσει το λάδι.

Όταν το λαδί έχει κάψει καλά ρίχνουμε την αθερίνα και ανακατεύουμε απαλά με μια τρυπητή κουτάλα κατά διαστήματα για να μην κολλήσουν τα ψαριά μεταξύ τους.

Όταν πάρουν ένα ωραίο χρυσαφένιο χρώμα και είναι τραγάνα τα αφαιρούμε  από την φωτιά με την τρυπητή κουτάλα και τα στεγνώνουμε σε απορροφητικό χαρτί. Αλατίζουμε.

Σερβίρουμε πασπαλίζοντας από πάνω το lime και τον ψιλοκομμένο μαϊντανό.